सभी पदार्थ स्थान (त्रि-विमीय स्थान) घेरते हैं। इसी त्रि-विमीय स्थान की मात्रा की माप को आयतन कहते हैं। एक-विमीय आकृतियाँ (जैसे रेखा) एवं द्वि-विमीय आकृतियाँ (जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज, वर्ग आदि) का आयतन शून्य होता है। Show गोले का आयतन उसके वक्र पृष्ठ के समाकलन (इन्टीग्रेशन) के बराबर होता है।r = गोले की त्रिज्यादीर्घ वृत्ताभ (ellipsoid):43πabc{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}a, b, c = दीर्घ वृत्ताभ के अर्धाक्ष (semi-axes) की मापसूची स्तम्भ (Pyramid):13Ah{\displaystyle {\frac {1}{3}}Ah}A = आधार का क्षेत्रफल, h = लम्बवत ऊँचाईशंकु (Cone) या वृत्तीय आधार वाला सूची-स्तम्भ (pyramid):13πr2h{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}r = वृत्तीय आधार की त्रिज्या, h = शीर्ष (tip) की आधार से लम्बवत दूरीकिसी भी आकार के लिये (समाकलन का प्रयोग करना पड़ता है)∫A(h)dh{\displaystyle \int A(h)\,dh}h = आकृति का कोई बीमा (dimension), A(h) = h के लम्बवत क्षेत्रफल (आयतन की इकाई घन मीटर', घन सेमी, लीटर आदि होती हैं। किसी घनाभ के किसी एक शीर्ष पर मिलने वाली तीनों कोर () को सदिश रूप में व्यक्त करें तो उसका आयतन इन तीन सदिशों के अदिश गुणनफल (scalar triple product) के बराबर होता है। किसी चतुष्फलकी (tetrahedron) के आयतन के लिये सदिश सूत्र :[संपादित करें]किसी चतुष्फलकी के चारो शीर्षों के स्थिति सदिश (position vectors) a, b, c and d हों तो उसका आयतन (a−b, b−c, c−d) के तिर्यक सदिश गुणनफल (scalar triple product) के १/६ के बराबर होता है। धारिता गणित विषय का बहुत ही महत्वपूर्ण विषय है |इस पोस्ट में धारिता से सम्बंधित कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गये हैं ,जिनकी मदद से घन,घनाभ,बेलन,शंकु,गोले आदि का आयतन आसानी से ज्ञात किया जा सकता है | यदि इस पेज को पढ़ने में किसी प्रकार की समस्या है तो पोस्ट के अंत में Download PDF का आप्शन दिया है जहाँ क्लिक करके पोस्ट का PDF डाउनलोड कर सकते हैं | ❍ घन का आयतन = भुजा 3 ❍ घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई ×ऊंचाई ❍ बेलन का आयतन = π r2h ❍ खोखले बेलन का आयतन = π (r12 - r22)h ❍ शंकु का आयतन = ⅓ πr2h ❍ शंकु के छिन्नक का आयतन = ⅓ πh[r12 + r22+r1r2] ❍ गोले का आयतन = 4 / 3 ❍ अर्द्धगोले का आयतन = ⅔ πr3 ❍ गोलीय कोश का आयतन = 4 / 3 π(r13 - r23)Topics: belan ka aayatan, ghanabh ka aayatan, gole ka aayatan, shanku ka aayatan, ghan ka aayatan, goliy kosh ka aayatan, khokhle belan ka aayatan, ardhgole ka aayatn दुनिया की कोई भी वस्तु जिसकी दीवारे आधार के साथ 90 डिग्री का कोण बनाती है तो उसका आयतन अपन उसके आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊंचाई से गुना करके निकाल सकते है जैसे की अगर किसी घन का आयतन निकालना है तो अपन उसका आधार का क्षेत्रफल निकाल के अगर उसकी ऊंचाई से गुणा कर देंगे तो उस घन का आयतन हमे मिल जायेगा ये हर वस्तु पे लागु होता है।*दुनिया की कोई भी आकृति चाहे उसमे कितनी भी दीवारे(तीन से ज्यादा होनी चाहिए) हो तथा उसकी दीवारे अगर आधार के साथ 90 डिग्री का कोण बनाती है तो उसे अपन प्रिज्म बोल सकते है उसका आयतन अपन ऊपर बताये गये तरीके से निकाल सकते है* दुनिया की कोई बी आकृति जिसकी दीवारे(तीन से ज्यादा होनी चाहिए) चाहे कितनी भी हों अगर ऊपर जाकर एक पॉइंट पे मिलती है तो उसे अपन पिरामिड कहते है इसका आयतन जिस प्रिज्म से ये बनता है उसके आयतन का 1/3 होता है । इसको समझने के लिए अपन एक example लेते है। एक बेलन जिसकी दीवारे 90 डीग्री पर ऊपर जाती है इसको अपन प्रिज्म माने (हालाँकि वास्तव में मान नही सकते) तो इसका आयतन πr×r×h होता है।लेकिन एक शंकु जिसकी दीवारे ऊपर एक पॉइंट पे मिलती है जो की बेलन की दीवारों को ऊपर मिला के बनाया जा सकता है का आयतन हमेसा 1/3(बेलन का आयतन होगा)= 1/3×πr×r×h। इसी तरह हर आकृति यही नियम फॉलो करती है* किसी शंकु का अगर ऊपर का हिस्सा काट दिया जाये तो वो छिन्नक(बाल्टी) बन जाता है जिससे उसमे दो त्रिज्याये बन जाती है एक तो बड़ी त्रिज्या R दूसरी छोटी त्रिज्या r। तो इसके आयतन, तिर्यक भाग का क्षेत्रफल तथा संपूर्ण क्षेत्रफल का शुत्र शंकु से अलग हो जाता है जैसे* आयतन = πh(R x R+ r x r+ R x r)/3 ( Note – ^ Iska matlab ghat hai ) Areas = क्षेत्रफल यदि तीन भुजा दी हो तो बिना बिना सम कोण में हेरो सूत्र triangle given a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] when s = (a+b+c)/2 (Heron’s formula) नियमित बहुभुज regular polygon = (1/2) n sin(360°/n) S^2 Volumes = आयतन Q1. एक बेलनाकार टंकी की धारिता 1848 मीटर (क्यूब) है इसका व्यास 14 मीटर है। टंकी की गहराई ज्ञात कीजिये। Q2. लोहे के बने एक खोखले पाइप की लंबाई 1 मीटर तथा इसकी अंदऱी चौड़ाई 3 सेमी है। यह 1 सेमी मोटी लोहे की चादर का बना है। यदि 1 घन सेमी लोहे का भार 21 ग्राम हो, तो इस पाइप का भार कितना है। Explanation: अगर अंदर की चौड़ाई 3 सेमी है यो इसका मतलब अंदर की त्रिज्या 1.5 सेमि है तथा अगर जिस चद्दर से ये बना है उसकी मोटाई अगर 1 सेमी है तो बाहर की त्रिज्या 2.5 सेमी होगी । अब अगर लोहे का आयतन निकलना है तो अगर अपन बाहरी त्रिज्या वाले कुल आयतन से अंदर की त्रिज्या वाले कुल आयतन को घटा देंगे तो बचा हुआ आयतन लोहे का ही होगा तो लोहे का आयतन = Q3. एक गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी है। इसका आयतन तथा संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिये। Explanation: संपूर्ण पृष्ठ = 4πr^2 Q4. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 सेमी है तथा ऊंचाई 28 सेमी है। इनकी तिर्यक ऊंचाई ,आयतन, वकृ पृष्ट का क्षेत्रफल तथा संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। Explanation: आयतन=1/3 π r^2 h वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πr l संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=(πrl+πr^2) Q5. जस्ते के बने एक गोले का व्यास 18 सेमी है। इस गोले से 4 मिमी व्यास की तार खींची गयी है। इस तार की लंबाई कितनी है। Explanation: तार की त्रिज्या=2/10 सेमी=1/5 X=24300 सेमी Q6. एक घनाभ के विकर्ण की नाप 28 सेमी. है तथा इसके तीनो कोरों की लंबाई का योग 44 सेमी है। इस घनाभ के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल कितना होगा। Explanation: Jhan l,b,h क्रमशः लंबाई ,चौड़ाई,ऊंचाई होती है Q7. एक 45 मीटर चौड़ी तथा 2.5 मीटर गहरी नदी का बहाव 3.6 किमी/घंटा है। इससे कितना पानी प्रति मिनट समुन्द्र में गिरता है। Explanation: Q8. तैरने के लिए बना एक तालाब 24 मीटर लंबा तथा 15 मीटर चौड़ा है। कुछ व्यक्तियों के इस तालाब में डुबकी लगाने से पानी के तल की ऊंचाई में 1 सेमी की वृद्धि हो जाती है। यदि प्रत्येक व्यक्ति 0.1 घन मीटर पानी विस्थापित करे तो तालाब में कितने व्यक्ति है। Explanation: माना कुल डुबकी लगाने वालों की संख्या=x X*0.1= 24×15×1/100 Q9. एक आयताकार पलाट 13.5 मीटर लंबा तथा 2.5 मीटर चौड़ा है। इसमें एक आयताकार टंकी (5 मी × 4.5 मी × 2.1 मी) खोदी गयी है। इससे निकाली गयी मिटटी को प्लाट के शेष भाग में समान रूप से बिछाया गया है। इससे प्लाट के धरातल की ऊंचाई में कितनी वृद्धि होगी? Explanation: निकाली गयी मिटटी का आयतन ऊंचाई में वृद्धि= 189/4 × 4/45 Q10. दो घनो के आयतनों का अनुपात 27:64 है। इनके संपूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा? Explanation: Q 11. 2 इंच व्यास का एक पाइप एक टँकी को एक घंटे में पूरी भर देता है। यदि पाइप का व्यास 4 इंच हो, तो टंकी को भरने में कितना समय लगेगा? Explanation: बेलन का आयतन हमेसा πr^2h होता है तो अगर व्यास दोगुना होगा तो त्रिज्या भी दोगुनी होगी जिससे जो आयतन पाइप पहले डाल रही थी उसका अब 4 गुना आयतन डालेगी क्योंकि Q12. एक आयताकार कागज का साइज 100 सेमी× 44 सेमी है। इस कागज़ को इसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन कितना है। Explanation: Q13. यदि किसी गोले के अर्धव्यास में 2 मीटर की वृद्धि कर दी जाये तो उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में 704 वर्ग मीटर की वृद्धि हो जाती है। गोले का प्रारंभिक अर्धव्यास कितना है। Explanation:गोले का परिष्टीय क्षेत्रफल=4πr^2 वृद्धि=4π(r+2)^2-4πr^2 Q14. एक बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या 18 सेमी तथा ऊंचाई 32 सेमी है। रेत से भरे इस बर्तन को पृथ्वी पर उल्ट कर खाली कर दिया गया तथा रेत को एक शंक्वाकार ढेर के रूप में परिवर्तित कर दिया गया। यदि इस ढेर की ऊंचाई 24 सेमी हो, तो इसके आधार की त्रिज्या क्या होगी? Explanation: माना शंकु की त्रिज्या r है । Q15. 45 सेमी ऊँची एक बाल्टी एक शंकु के छिन्नक के रूप में है। इसके सिरों की त्रिज्याये क्रमशः 28 सेमी तथा 7 सेमी है। बाल्टी की धारिता तथा पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। टंकी के आयतन का सूत्र क्या होता है?इसका सूत्र है V = πr2h, जहाँ V आयतन है, r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है, h ऊंचाई है, और π स्थिरांक पाई है।
पानी की टंकी का आयतन कैसे निकाले?1 मीटर = 100 सेंटीमीटर। [२] X रिसर्च सोर्स इसलिए, यदि एक घन (cube) की लम्बाई 2.5 मीटर है, जो बदलकर 250 सेंटीमीटर हो जाती है, चूँकि 2.5 × 100 = 250 {\displaystyle 2.5\times 100=250} ।. 1 इंच = 2.54 सेंटीमीटर। ... . 1 फ़ीट = 30.48 सेंटीमीटर।. एक आयताकार पानी की टंकी 8 मी ऊँची 6 मी लम्बी और 2.5 मी चौड़ी है यह कितने लीटर पानी धारण कर सकती है?टैंक में आवश्यक पानी 120000 लीटर हो सकता है।
आयतन कैसे निकाला जाता है?समझें कि एक आयत का आयतन इसकी लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई के बराबर होता है: अगर आपका बॉक्स एक आयताकार प्रिज्म या एक घन (cube) है, तो आपको केवल बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई, और ऊंचाई की जानकारी की आवश्यकता है। आप उन्हें आपस में गुणा करके आयतन निकाल सकते हैं। यह फार्मूला अक्सर संक्षेप में V = l x w x h.
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